成组数据的T检验

比较两个独立的、互不影响的实验组之间的平均值是否有显著差异

想要比较两个数据之间不同，到底有没有本质的不同，想象一下，你有两组独立的小白鼠（成组数据），你想知道给它们吃不同的饲料（比如饲料 A vs 饲料 B），它们的体重增长有没有本质上的不同。成组 T 检验就是帮你判断这个“不同”是真的由饲料引起的，还是仅仅因为随机波动造成的巧合

成组

两个样本组是完全独立、互不影响

• 例子 1： 你随机挑 10 只小白鼠喂饲料 A，再随机挑另外 10 只小白鼠喂饲料 B。这两组老鼠互相不认识，吃的饲料也不同，彼此完全独立。这就叫“成组数据”

• 例子 2： 你想比较男生和女生的平均身高。你测量了 50 个男生和 50 个女生的身高。男生组和女生组是独立的群体

如何才能使用成组数据的 T 检验

• 独立性：组内观测值互相独立，组间观测值也互相独立
• 正态性：每个组的数据都应该（近似）遵循正态分布
• 方差齐性

方差齐性的检验

计算两组的样本方差

分别计算两组的样本方差 $S_1^2$ 和 $S_2^2$

构造 F 值

$$F=\frac{\text{较大方差}}{\text{较小方差}}$$

确定自由度

$$d{f}_1=\text{较大方差 n-1}$$$$d{f}_2=\text{较小方差n-1}$$

确立假设

$$H_0:{\alpha }_1^2={\alpha }_2^2$$$$H_1:{\alpha }_1^2\ne {\alpha }_2^2$$

进行检验

对于方差齐性的检验为双尾检验，同样查表，看 F 的接受域和拒绝域在哪里区间中

平均数差异显著性检验

确立零假设

假设：

$$H_0:{\mu }_1={\mu }_2$$$$H_A:{\mu }_1\ne {\mu }_2$$

T 统计量的计算

$$t=\frac{{\overline{x}}_1-{\overline{x}}_2}{s_d/\sqrt{n}}$$

1. 定义配对差值

对于第 $i$ 对观测值：

$$d_i=x_{1i}-x_{2i}(i=1,2,\dots ,n)$$

2. 计算差值统计量

·差值均值：

$$\overline{d}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{d}_i={\overline{x}}_1-{\overline{x}}_2$$

· 差值标准差：

$$s_d=\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n(d_i-\overline{d}{)}^2}{n-1}}$$

对于两个独立样本成组 T 检验而言：

$$S_p^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{(n_1+n_2-2)}$$

3. 构建 T 统计量

将问题转化为单样本 T 检验：检验差值均值 $\overline{d}$ 是否显著不等于0

$$t=\frac{\overline{d}-0}{s_d/\sqrt{n}}=\frac{{\overline{x}}_1-{\overline{x}}_2}{s_d/\sqrt{n}}$$

等同于：

$$t=\frac{(\overline{x_1}+\overline{x_2})}{S_p\sqrt{(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}$$

或者使用这样的方式记忆会更好：

$$t=\frac{\overline{x_1}-\overline{x_2}}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}$$

例

我们来一步一步解答这个生态调查问题，判断污染河段鲫鱼的平均体长是否显著小于清洁河段（单尾检验，α=0.05）。

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数据准备

污染组（n₁ = 10）：

[12.1, 11.8, 13.0, 12.5, 11.9, 12.3, 12.6, 11.7, 12.4, 12.0]

清洁组（n₂ = 8）：

[14.2, 13.8, 14.0, 13.5, 14.1, 13.7, 13.9, 14.3]

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第一步：计算平均值和标准差（x̄₁, x̄₂, s₁, s₂）

污染组：

• 平均值 ${\overline{x}}_1=\frac{12.1+11.8+\cdots +12.0}{10}=12.23$

• 标准差：

  $$s_1=\sqrt{\frac{\sum (x_i-{\overline{x}}_1{)}^2}{n_1-1}}\approx 0.39$$

清洁组：

• 平均值 ${\overline{x}}_2=\frac{14.2+13.8+\cdots +14.3}{8}=13.94$

• 标准差：

  $$s_2\approx 0.26$$

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第二步：检验方差齐性

用 F 检验：

$$F=\frac{s_1^2}{s_2^2}=\frac{{0.39}^2}{{0.26}^2}\approx \frac{0.1521}{0.0676}\approx 2.25$$

查 F 表（自由度 v₁=9, v₂=7, α=0.05）：

• 临界值大约为 3.68

因为 F = 2.25 < 3.68，接受原假设，认为方差齐性，可使用合并标准差。

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第三步：计算合并标准差 $s_p$ 和 t 值

合并标准差：

$$s_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}=\sqrt{\frac{(9)(0.1521)+(7)(0.0676)}{16}}\approx \sqrt{\frac{1.3685+0.4732}{16}}\approx \sqrt{0.1152}\approx 0.34$$

T 统计量：

$$t=\frac{{\overline{x}}_1-{\overline{x}}_2}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}=\frac{12.23-13.94}{0.34\cdot \sqrt{\frac{1}{10}+\frac{1}{8}}}=\frac{-1.71}{0.34\cdot \sqrt{0.225}}\approx \frac{-1.71}{0.34\cdot 0.4743}\approx \frac{-1.71}{0.161}\approx -10.62$$

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第四步：查临界值并做结论

自由度 $df=n_1+n_2-2=16$

查单尾 t 表，α = 0.05，df = 16：

• 临界值 $t_{0.05}(16)\approx -1.746$

因为 $t=-10.62<-1.746$，落入拒绝域。

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结论：

在显著性水平 α = 0.05 下，污染河段鲫鱼的平均体长显著小于清洁河段，即差异具有统计学意义。